Zeszyt do informatyki: lutego 2021

FIBONACCI - ur. ok. 1175 w Pizie – zm. 1250 włoski matematyk, Leonardo Fibonacci, zwany Leonardem z Pizy. Sam często używał imienia Bigollo, które znaczy tyle co: „nic niewart” lub „podróżny”.

Jego ojciec był dyplomatą w Afryce północnej. Reprezentował on kupców Republiki Pizy. Młody Fibonacci uczył się w Boużi pod kierunkiem arabskiego nauczyciela. Już w dzieciństwie zwiedził wiele krajów, w tym także egzotycznych: Egipt, Syrię, Prowansję, Grecję. Poznawał w nich różne systemy matematyczne.

W 1200 roku wrócił do Pizy. Tam zajął się opracowywaniem wielu zagadnień starożytnej matematyki. Żył w epoce przed wynalezieniem druku, dlatego jego dzieła mogły zostać rozpowszechnione jedynie za pomocą ręcznego odpisu. Z tego powodu do dziś przetrwało jedynie kilka z jego prac.

Fibonacci był niezwykle utalentowanym matematykiem. Jednym z jego najsłynniejszych dzieł było „Liber abaci”, które stanowiło wykład azjatyckich osiągnięć w dziedzinie matematyki. Kolejną jego ważną pracą była „Practica geometriae”, gdzie matematyk po raz pierwszy użył algebry w dziedzinie geometrii. To właśnie od jego nazwiska pochodzi pojęcie liczb Fibonacciego.

W wydanej w 1202 roku książce "Liber Abaci" poruszył tematy podzielności, teorii liczb, symbolika matematyczna, ale również zasady księgowania, reguły zysków i strat czy wymiany pieniędzy, jednak najsłynniejszym zdaniem stało się:

Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym następnym miesiącu, poczynając od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin?

Jako przesiębiorca i finansista, zamieścił swoje obliczenia w tabeli. Okazało się, że łączna liczba królików w poszczególnych miesiącach tworzyła zadziwiający ciąg liczb. Kolejne liczby były sumą dwóch poprzednich.

CIĄG FIBONACCIEGO - ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Wzór:

$F_{n}:={\begin{cases}0&{\text{dla }}n=0,\\1&{\text{dla }}n=1,\\F_{n-1}+F_{n-2}&{\text{dla }}n>1.\end{cases}}$

NIESKOŃCZENIE ZŁOTY CIĄG - związek ciągu Fibonacciego ze złotą liczbą jest wręcz niebywały. Dzieląc kolejne wyrazy tego ciągu przez wyraz poprzedni otrzymujemy liczby coraz bliższe liczbie zlotej. Już dzieląc wyraz trzynasty przez dwunasty mamy błąd rzędu 0.00002. Granicą ciągu Fibonacciego jest więc złota liczba.

CIĄG FIBONACCEGO W PRZYRODZIE:

Zależność tą możemy zauważyć w przyrodzie. Między innymi kwiaty i gałęzie w punktach wzrostu.

Jeden pień tworzy gałąź i mamy dwa punkty wzrostu. Kolejny wzrost gałęzi na pniu i mamy trzy punkty wzrostu. Pień i pierwsza gałąź tworzą dwa kolejne punkty wzrostu, co daje nam w sumie pięć. Jeśli policzysz liczbę płatków na kwiatku, znajdziesz sumę będącą jedną z liczb w sekwencji Fibonacciego.

Również środek kwiatów zestawiony jest na zasadzie złotej spirali. Nawet ilość ziaren lub nasion jest zawsze jedną z liczb z ciągu.

Kolejnym odwzorowaniem liczb Fibonacciego jest ludzkie ciało. Części ciała są w sekwencjach cyfr 1,2,3 i 5. Jeden nos, dwoje oczu, trzy segmenty do każdej kończyny i pięć palców na każdej dłoni. Takie proporcje i wymiary ludzkiego ciała można również podzielić pod względem złotego podziału.

Spirale DNA również spełniają złote proporcje:

ZŁOTY PROSTOKĄT A SPIRALA FIBONACCIEGO:

Bardzo ciekawą zależnością jest spirala Fibonacciego, która ma bezpośredni związek ze złotym prostokątem, czyli takim, którego stosunek długości do szerokości jest w złotym podziale. Gdy mamy prostokąt, okazuje się, że gdy zaczniemy rysować łuki o długości promienia, który jest kolejnym wyrazem ciągu Fibonacciego, to otrzymamy spiralę.